Un peu de mathématiques, pour changer...

Je me suis récemment aperçu que la France occupait la deuxième place pour le nombre de lauréats de la médaille Fields, cette prestigieuse récompense qui sacre un travail particulièrement remarquable dans l'art si complexe (et pourtant non moins réel s'il faut vous mettre les points sur les i... je me demande qui comprendra cette blague vaseuse...) des mathématiques, accompli par un jeunôt de moins de quarante ans.

Il y a ainsi de quoi pavoiser, toute modestie mise à part.

Il en de même pour le prix Abel, équivalent du prix Nobel pour les mathématiques, dans le classement duquel la France occupe la deuxième place, avec trois titres, derrière les États-Unis et leurs six nominations.

En ces temps de naufrage généralisé et de lente déchéance, il reste malgré tout des aspects satisfaisants ; lecteurs, je vous autorise donc à pousser un discret , quoique vivace, « hourra » (en faisant attention toutefois de ne pas gêner vos voisins) avant de reprendre le fil de ce texte.

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C'est ainsi que, pour fêter cette encourageante double deuxième place (oui nous sommes un peu les Poulidor des mathématiques), je vous propose une petite curiosité amusante... rassurez-vous, on parlera bien de mathématiques, mais tout ceci restera fort simple...

J'errais ainsi, il y a plusieurs jours de cela sur la toile, quelque peu perdu, mon site favori de photos érotiques d'art étant en cours de réglage, et donc non disponible. Je tombai alors, un peu par hasard, sur un site de jeux qui me proposa une partie de nim contre l'ordinateur.

Vous ne connaissez pas le jeu de nim ? Mais si voyons, il s'agit de ce jeu très simple dans lequel chaque joueur, à tour de rôle, doit enlever un, deux, ou trois éléments d'une rangée de bâtonnets, jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'un, le jouer ayant ôté l'avant-dernier bâton étant déclaré vainqueur. Les amateurs de Fort Boyard sauront de quoi je veux parler...

Comme je viens de l’écrire plus haut (je n’hésite pas à me répéter pour mes lecteurs inattentifs), chaque joueur, lorsque vient son tour, a le droit d'enlever un, deux ou trois bâtonnets. C'est lui qui décide. A première vue on pourrait croire que ce triple choix implique quantités de combinaisons variées, ce qui fait qu'il ne doit pas être facile de définir une stratégie gagnante. Et bien pas du tout chers lecteurs, ceci est au contraire enfantin, grâce aux mathématiques.

Démonstration :

Tout d'abord laissez-moi planter le décor en affirmant péremptoirement la proposition suivante : si lorsque votre adversaire commence son tour, il a devant lui un nombre de bâtonnets égal à un multiple de quatre plus un, c'est-a-dire un, cinq, neuf, treize, dix-sept..., vous avez gagné !

Pour démontrer cette affirmation bien audacieuse, nous allons procéder en utilisant le fameux principe de la récurrence, popularisée par ce bon Blaise Pascal, et qui stipule grosso-modo ceci :

« Si une proposition, variant en fonction d'un entier naturel N, est vraie au premier rang (N prenant la valeur 0 ou 1 selon le contexte) et si, en faisant l’hypothèse qu'elle est vraie au rang n (n ayant une valeur quelconque), elle se retrouve également vraie pour le rang suivant (c'est-a-dire n+1), alors cette proposition est vérifiée pour toute valeur de N... »

Je sens le nombre de mes fidèles, déjà pas bien haut à la base, chuter vertigineusement au vu de cette phrase plutôt indigeste. Mais rassurez-vous lecteurs (du moins ceux qui restent...), là est la partie la plus compliquée de l'article. Tout ce qui va suivre n'est qu'une simple illustration qui vous aidera à mieux comprendre...

• Ainsi donc, si je considère ma proposition « l'adversaire se retrouve avec un nombre de bâtonnets égal à quatre fois un entier naturel plus un », voyons ce que cela fait au premier rang, c'est-a-dire si cet entier naturel est égal à … 0

L'adversaire doit jouer avec un nombre de bâtonnets égal à un... ce qui n'est pas beaucoup, certes, mais ce qui veut surtout dire qu'il a perdu d’après les règles du jeu. Difficile de faire plus simple, vous en conviendrez...

• Maintenant supposons que pour un entier naturel égal à n, l'adversaire qui se retrouve avec quatre fois n plus un a perdu contre vous, qu'en est-il si cet entier naturel est égal à n+1 ?

L'adversaire peut enlever un, deux ou trois bâtons, ce qui fait que lorsqu'il aura fini de jouer vous aurez devant vous

4*(n+1)+1 – 1 (2 ou 3)

soit

4*n+4+1- 1 (2 ou 3)

donc

4*n+5- 1(2 ou 3)

et enfin

4*n+4 (3 ou 2)

Ça va, vous suivez ? Comme c'est votre tour, il vous suffit de retirer un nombre de bâtonnets tel que votre adversaire reprendra la partie avec 4*n+1, combinaison qui lui est fatale, par hypothèse (sauf si bien entendu vous jouez comme un manche et/ou que vous êtes un admirateur inconditionnel de Jean-Luc Mélenchon, auquel cas je ne peux plus rien pour vous). Ainsi, si vous enlevez respectivement trois, deux ou un bâtonnet, votre adversaire se retrouve avec la fameuse combinaison fatale, et vous avez gagné (et démontré la proposition au passage), pourvu que vous appliquiez  à  chaque fois que c'est  à  vous de jouer la proposition suivante : « vous devez retirez un nombre de bâtonnets tel que votre adversaire doit entamer son tour avec un nombre de bâtons égal à un multiple de quatre plus un »

En réalité cette proposition revient à dire que le vainqueur est fonction du nombre de bâtons au départ : si la partie débute avec un nombre de bâtonnets égal à un multiple de quatre plus un, proposez élégamment à votre adversaire, en bon sportif que vous êtes, qu'il entame la partie, sinon faites tout ce qui est en votre pouvoir (en usant de menaces de mort au besoin) pour commencer...

Il ne vous reste plus qu'a vous entraîner, ici par exemple...

« Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce que je viens foutre dans cette histoire??? »